Question

x趋向0时lim sin1/x到底是多少

x趋向0时lim sin1/x到底是多少一会说是有界量，一会说是不存在，完全不明白啊。还有，怎么判断是不是有界量。

Answer 1

有界变量： 对一个变量x，若存在一个M>0, 使得x在其定义域（或是某个区域）上满足 |x|<=M
sin1/x 在其定义域R-{0}上有 |sin1/x|<=1, 故是一个有界变量。
这个是在x定义域上恒成立的。
至于 x趋向0时 sin1/x的极限，是另外一个概念，是讨论sin1/x在极限过程（x趋向0）下的变化趋势，它和极限过程密切相关，极限过程不同，变化趋势一般不同，也即极限不同。
对sin1/x在x趋于0时，sin1/x是在[-1,1]上震荡的，趋势不定，所以它的极限不存在，如前所述，但其是一个有界变量。

追问

很详细，明白了

追答

有界变量和极限存在是两个概念，看你的困惑是

x趋于0时，lim xsin1/x=0 而limsin1/x不存在。

前者的极限为零是用了  无穷小量的性质： 有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量。

Answer 2

limsin(1/x)取值介于[-1，1之间]，是有界量，极限是不存在的(根据极限的唯一性)

Answer 3

当x趋于0时,1/x趋于无穷,而sinx当x趋于无穷时没有极限

追问

那为什么lim(x->0)xsin1/x又等于0

这时就说它是有界量了

追答

我看错了，你这是lim sin1/x，设1/x=t则原方程变为1/tsint,t趋于无穷大sint此时不会有多大变化（-1到1）而1/t趋于0,所以xsin1/x趋于0

Answer 4

lim(x->0) sin(1/x)
不存在

追问

那为什么lim(x->0)xsin1/x又等于0

这时又说它是有界量

追答

|sin(1/x)|≤1 ; 有界

但有界不等于极限存在