Question

小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在

一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．

Answer 1

（1）是等腰三角形。
第一次折叠，AC边与AB边对齐，说明AD是∠BAC的平分线；
第二次折叠，A和D重叠，则折痕EF垂直平分AD，
即AD是三角形AEF的角平分线且垂直于该角对应的边，所以△AEF是等腰三角形
（2）第一次折叠，A点落在BC边的F点，使得四边形ABFE是正方形，BE是正方形对角线，
则EF垂直ED，∠FED=90度，∠FEB=45度
第二次折叠，EG是折痕，则∠GED=∠GEB=∠FEB+∠α=45度+∠α
∠α=∠FED-∠GED=90度-（45度+∠α）
∠α=22.5度

Answer 2

（1）是等腰三角形。
第一次折叠，AC边与AB边对齐，说明AD是∠BAC的平分线；
第二次折叠，A和D重叠，则折痕EF垂直平分AD，
即AD是三角形AEF的角平分线且垂直于该角对应的边，所以△AEF是等腰三角形
（2）第一次折叠，A点落在BC边的F点，使得四边形ABFE是正方形，BE是正方形对角线，
则EF垂直ED，∠FED=90度，∠FEB=45度
第二次折叠，EG是折痕，则∠GED=∠GEB=∠FEB+∠α=45度+∠α
∠α=∠FED-∠GED=90度-（45度+∠α）
∠α=22.5度

Answer 3

⑴同意小明的看法；理由如下：由第一次折叠可知∠ADB=∠ADC,由第二次折叠可知EF⊥AD于G(所设），∴∠AGE＝∠AGF,又AG=AG,∴△AGE≌△AGF(ASA)∴AE=AF
⑵由第一次折叠可知∠AEB=∠BEF＝½∠AEF=45°,∴∠BED=180°－∠AEB＝135°,由第二次折叠可知∠BEG＝∠DEG＝½∠BED＝67.5°,∴∠α＝∠BEG－∠BEF＝67.5°－45°=22.5º

Answer 4

第一次折完，推出AD是角BAC角平分线，第二次折完，AD垂直EF，这两个条件可知△AEF为等腰三角形。
第二题：很明显四边形AEFB是个正方形，可知∠AEB=∠BEF=45°。可算出∠BEG=∠GED=(180°-45°)÷2=67.5°，α=∠BEG-∠BEF=22.5°