Question

已知函数f(x)=ax²+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R)

已知函数f(x)=ax²+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R)，
F(x)= f(x),x＞0
F(x)= -f(x),x＜0
1.若f（-1）=0，且函数f(x)的值域为[0,﹢无穷)，求F(x)的表达式；
2.在1的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k取值范围；
3.设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F(m)+F（n）是否大于0？

Answer 1

1.
f(-1) = a - b + 1 = 0, b = a+1
且函数f(x)的值域为[0,﹢无穷), 显然x = -1为该抛物线的对称轴，且抛物线开口向上, a >0
对称轴x = -1 = -b/(2a) = -(a+1)/(2a)
a = 1
f(x)=x²+2x+1

F(x) = x²+2x+1, x > 0
= -(x²+2x+1), x < 0

2.
g(x) = x²+2x+1 - kx = x²+(2 - k)x+1
g(x)的对称轴为x = -(2-k)/(2*1) = (k-2)/2
当x∈[-2,2]时, g(x)是单调函数, 对称轴x = (k-2)/2 ≥2 或 x = (k-2)/2 ≤ -2
即k ≥ 6或k ≤ -2

3
不影响结果，不妨设m > 0
mn < 0, n < 0
m + n > 0, m > |n|, m² > n²

f(x)为偶函数, b = 0, f(x) = ax² + 1
F(m) = f(m) = am²+ 1
F(n) = -f(n) = -an² - 1
F(m)+F(n) = a(m² - n²) > 0

Answer 2

1 带-1 得 a-b+1=0 函数f(x)的值域为[0,﹢无穷)， -b/2a=-1 得 a=1 b=2
2 f(x)=ax²+（b-k）x+1=x²+（2-k）+1=g（x）单调则 -b/2a《-2 或 -b/2a》2
的k《-2或k》6
3 f（x）为偶函数。b=0 则F（x）为奇函数 F(x1)+F(x2)=0 x1和x2互为相反数
由 mn＜0，m+n＞0 m和n一位正，一位负。且正数〉负数的绝对值
所以 F(m)+F（n）大于0

Answer 3

晕