Question

已知函数f（x)=e^x,g（x)=nx+m.若n=2时方程f(x)=g（x)在【0,2】上恰有两个相异实根，求m的取值范围

（2)若T(X)=g（x)*f(x)在（0，,T(0))处的切线与直线y=x平行，试用n表示m，并求此时T(X)在【0,1】上的最大值（3)在m=-15,n是正整数时，求使f（x)-(1/2）g（x)>=0恒成立的最大自然数n

Answer 1

（1）f(x)=g(x) 在 [0，2] 上恰有两个相异实根，
就是直线 y=m 与曲线 h(x)=e^x-2x 在 [0，2] 上恰有两个交点。
令 h '(x)=e^x-2=0 得 x=ln2 ，因此 h(x)=e^x-2x 在 [0，2] 上最小值为 h(ln2)=2-2ln2 ，
而 h(0)=1 ，h(2)=e^2-4>1 ，
因此 m 取值范围是 （2-2ln2 ，1] 。
（2）T(x)=g(x)*f(x)=(nx+m)*e^x ，
求导得 T '(x)=(nx+m)*e^x+n*e^x=(nx+m+n)*e^x ，
令 T '(0)=m+n=1 ，得 m=1-n 。
此时，T(x)=(nx+1-n)*e^x ，T '(x)=(nx+1)*e^x ，
所以，当 n>= -1 时，T '(x)>0 ，最大值为 T(1)=e ，
当 n< -1 时，T(x) 在 [0，-1/n] 上增，在 [ -1/n ，1] 上减 ，最大值为 T(-1/n)= -n*e^(-1/n) 。
（3）f(x)-1/2*g(x)>=0 恒成立，
就是 e^x-1/2*(nx-15)>=0 恒成立，
就是 2e^x+15>=nx 恒成立。
由于 n>0 ，所以 x<0 时上式显然成立，
所以，要使原不等式恒成立，只须 n<=min[ (2e^x+15)/x (x>0) ] ，
令 u(x)=(2e^x+15)/x (x>0) ，
则 u '(x)=(2x*e^x-2e^x-15)/x^2 ，令 u '(x)=0 ，则 x ≈ 2 ，
所以 n<=minu(x)=u(2) ≈ 14.9 ，
即 最大的自然数 n 为 14 。