Question

在等腰梯形ABCD中，AB平行DC，AD等于BC等于5，DC等于7，AB等于13，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿

AD至DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时间为t秒。
问1.当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形？
2.在整个运动过程中，当t为何值时，以点C，P，Q为顶点的三角形是直角三角形？

Answer 1

1.解:由于平行四边形对边平行且相等,则四边形PQBC为平行四边形时,点P必须在DC上.

时间为t秒时,PC=AD+DC-2t=5+7-2t=12-2t; BQ=t.

∴PC=BQ,即12-2t=t,t=4.

所以,当t=4秒时,四边形PQBC为平行四边形.

2.解:(1)当点P在边AD上时:作CH垂直AB于H,则BH=(AB-CD)/2=3,CH=√(BC^2-BH^2)=4.

①点P与A重合时,AB²=169, AC²+BC²=(AH²+CH²)+BC²=116+25=141.

即AB²>AC²+BC²,得∠ACB即∠PCQ>90°;

②点P与D重合时,同理相似可知:DQ²>DC²+CQ²,得∠PCQ>90°.

即P在AD上时,以点C,P,Q为顶点的三角形不会是直角三角形.

(2)当Q与H重合时,BH=3,即t=3秒时:点P在CD上,∠PCQ=90°;

(3)当PQ垂直DC时,AQ-DP=BH,即(13-t)-(2t-5)=3, t=5.即t=5秒时,∠QPC=90°.

所以,当t=3秒或5秒时,以C,P,Q为顶点的三角形是直角三角形. 

Answer 2

解:1.若四边形PQBC为平行四边形,则:PC与BQ平行且相等,故点P必定在DC上.
t秒时,BQ=t,PC=AD+CD-2t=12-2t.
∴12-2t=t,t=4(秒);
2.作CH垂直AB于H,则BH=(AB-CD)/2=3,CH=√(BC²-BH²)=4;作DM垂直AB于M,则DM=CH=4.
(1)当P在A点时,AB²=169;AC²+BC²=(AH²+CH²)+25=(100+16)+25=141,即AB²>AC²+BC².
∴∠ACB>90°,即此时∠PCQ>90°;当P与D重合时,同理相似可知:∠PCQ>90°.
(2)当P在DC上时,Q与H重合时,BH=BQ=3,即t=3秒时,∠PCQ=90°;
(3)当∠QPC=90°时,DP=2t-AD=2t-5; AQ=AB-BQ=13-t.
AQ-DP=AM=BH,即:(13-t)-(2t-5)=3, t=5.
综上所述,当t=3秒或5秒时,以点C,P,Q为顶点的三角形是直角三角形.

Answer 3

解答：解：（1）作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及直角△ABE，△DCF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，又AEFD为矩形，得到AD=EF，
∴BE=CF=
1
2
（BC-AD）=3，
在直角△ABE中，∠AEB=90°，AB=5，BE=3，
∴根据勾股定理得：AE=4，
则梯形ABCD的面积=
1
2
（BC+AD）•AE=
1
2
（12+6）×4=36；
（2）如图，当PQ∥AB时，设P点离开D点的时间等于t秒，
则DP=t，PC=5-t，CQ=2t．
过P作PM⊥QC于M．
∵PQ∥AB，
∴∠PQM=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠PQM=∠C，
∴PQ=PC=5-t，
∴QM=MC=t．
∵PM=PC•sinC=CM•tanC，sinC=sinB=
AE
AB
=
4
5
，tanC=tanB=
AE
BE
=
4
3
，
∴
4
5
（5-t）=
4
3
t，
∴t=
15
8
；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，设P点离开D点x秒，则DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
分两种情况：①如图，若∠PQC=90°，则cosC=
CQ
PC
，
∴
2x
5-x
=
3
5
，解得x=
15
13
；
②如图，若∠QPC=90°，则cosC=
CP
CQ
，
∴
5-x
2x
=
3
5
，解得x=
25
11
．
故当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点的时间为
15
13
秒或
25
11 秒．

追问

这个图形的字母上面从左到右是D，C，而下面从左到右则是A，B，希望高手们不要搞错，急求解啊……

Answer 4

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形时？
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？

Answer 5

老班，我帮不了你 = =、