Question

如图1，在平面直角坐标系中，A(0,a)，C(-a,a)，△ABO是等边三角形，直线CB交x轴于点D

⑴求∠BDO的度数
⑵求证：CB=BD
⑶如图2，作BE⊥CD交OA于E，试探究线段DO、AE、BO之间的数量关系，并给出证明

Answer 1

解：（1）<BOD=<AOD-<AOB=90°-60°=30°
<BAC=90°-60°=30°
而AC=AB，故
<ABC=(180°-<BAC)/2=(180°-30°)/2=75°
<OBD=180°-<ABC-<ABC=180°-60°-75°=45°
故<BDO=180°-<OBD-<BOD=180°-45°-30°=105°
（2）取AO的中点M，连接BM。显然BM⊥OA，故BM为梯形ACDO的中位线，故CB=BD
当然也可再过点B作AC的垂线，交AC于点R，交OD于点S。显然BR=AM=OM=BS，然后根据HL定理可证RT△BRC≌RT△BSD，进而得CB=BD
（3）数量关系为：OD+AE=BO
证明：过点O作OP⊥AD于点P，作ON⊥BE于点N，连接DP。
因为<OBD=45°，故<OBE=90°-45°=45°，即OB为<DBE的平分线。则有
OP=ON
<EON=60°-<BON=60°-(90°-45°)=15°
<DPP=<BOP-<BOD=(90°-45°)-30°=15°=<EON
根据HL定理，有RT△DOP≌RT△EON
故OD=OE
故BO=AO=AE+OE=AE+OD得证。