Question

高中几何数学题一道，请不要用坐标系方

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 根号3 ，BC=1，PA=2，E为PD的中点.求直线AC与PB所成角的余弦值；

Answer 1

连接BD，且交AC与O，则O为BD中点。（矩形对角线相等且相互平分）
在三角形PDB中，连接OE，则OE//PB。（三角形中位线定理）
所以∠AOE为AC与PB所成的角。
且，OE=PB/2=(√(4+3))/2=(√7)/2
AE=PD/2=(√(4+1))/2=(√5)/2
AO=AC/2=(√(3+1))/2=(√4)/2=1
利用余弦定理：cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
不算了，自己来吧

Answer 2

解：
连接BD，交AC与O，连接OE
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴∠DOE为AC与PB所成的角。
∵OE=½PA=½√3²+2²=√13/2
ED=½PD=½√2²+1²=√5/2
OD=½BD=½√3²+1²=√10/2
∴cos∠DOE
=（√10/2+√13/2-√5/2）/2×√10/2×√13/2
=(√10+√13-√5)/√130
≈（3.162+3.606-2.236）/11.402
=4.532、11.402
≈0.40

Answer 3

连接E和AC中点O。则OE//PB。问题转化为在△EAC中解决。
1.PA=2，AB=根号3，则PB=根号7，EO=根号7/2
2.PA=2，AD=BC=1，则PD=根号5，AE=根号5/2
3.AB=根号3，BC=1，则AC=2，AO=1
然后用公式求角EOA的余弦值就行。