Question

已知函数f(x)=(2的x次方+a)除以(2的x次方-1)，为奇函数。

（1）a的值
（2）f（x）的值域

Answer 1

f(x)为奇函数，所以有：f(x)+f(-x)=0 可得：
(2^x+a)/(2^x-1)+[2^(-x)+a]/[(2^(-x)-1]=0
(2^x+a)/(2^x-1)+(1+a2^x)/(1-2^x)=0
[(2^x+a)-(1-a2^x)]/(1-2^x)=0
即：
2^x+a-1+a2^x=0
a(1+2^x)=1-2^x
a=(1-2^x)/(1+2^x)
所以可得原函数为：
f(x)=(4^x+1)/(4^x-1)
=1+ 2/(4^x-1)
当x>0时有，2/(4^x-1)>0 此时函数的值域为(1,正无穷)
当x<0时有：2/(4^x-1)<0 此时函数的值域为(负无穷,1)
综上可得f(x)的值域为：x≠1