Question

已知直线l过点M(2,1)且分别与x轴，y轴的正半轴交于AB两点，O为原点。 用目标函数的方法求解

当三角形AOB面积最小时，直线l的方程为：
不要用均值不等式的解法，请用目标函数的方法求解。
尽量详细，会再追加分数。

Answer 1

直线l过点M(2,1)
那么可以设为y-1=k(x-2)
就是kx-y+1-2k=0
则A（2-1/k，0）,B(0,1-2k)
面积=（2-1/k)(1-2k)/2=-(2k-1)²/2k,k<0
令f(k)=-(2k-1)²/2k
求导f'(k)=-(2k-1)(2k+1)/2k=0解得k=-1/2
就是在k=-1/2取最小值
是f(-1/2)=-(2×（-1/2)-1)²/2(-1/2)=4

Answer 2

解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，
AB方程为x/a+y/b=1，点M（2，1）代入得
2/a+1/b=1≥2√(2/ab)，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），
故三角形OAB面积S=1/2(ab)≥4，
此时直线方程为：x/4+y/2=1
即x+2y-4=0，
所以当三角形AOB面积最小时，直线l的方程为：x+2y-4=0。

Answer 3

设直线l为y=kx+b，把M（2,1）代入得y=kx+1-2k
A（(2k-1)/k，0）、B（0，1-2k）
∵直线l与x、y轴都交于正半轴，∴k＜0
S△AOB=OA*OB*1/2
=│2k-1│/│k│*│1-2k│*1/2
=│-4k^2+4k-1│/2│k│
=2│k│-2+1/2│k│
基本不等式
2k+1/2k≥2
S△AOB（min）=0
k=-1/2
y=-1/2*x+2
x+2y-4=0

追问

麻烦不要用不等式求解，用目标函数的方法解题可以吗？

Answer 4

　　解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0)
　　则A(2-(1/k)，0)，B(0，1－2k)
　　由S＝(1/2)(1－2k)(2－1/k)＝(1/2)(4－4k－1/k)
　　≥(1/2)[4+2√((-4k)(-1/k))＝4
　　当且仅当－4k＝－1/k，即k＝－1/2时等号成立
　　∴△AOB的面积最小值为4
　　此时l的方程是x＋2y－4＝0

Answer 5

　　解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0)
　　则A(2-(1/k)，0)，B(0，1－2k)
　　由S＝(1/2)(1－2k)(2－1/k)＝(1/2)(4－4k－1/k)
　　≥(1/2)[4+2√((-4k)(-1/k))＝4
　　当且仅当－4k＝－1/k，即k＝－1/2时等号成立
　　∴△AOB的面积最小值为4
　　此时l的方程是x＋2y－4＝0