Question

求解高中数学不等式题

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）。
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围。

Answer 1

解答：
依题意设f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax²+(b+2)x+c，对于这两个函数，自变量x的取值范围是全体实数
由不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）可得：ax²+(b+2)x+c>0并且g(x)=0有两个根x1=1，x2=3，于是根据韦达定理有 x1+x2=-(b+2)/a=4，x1*x2=c/a=3 得b=-2-4a，c=3a，a<0
(1)方程f(x)+6a=0有两个相等的根，即ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根， 则判别式b²-4a(c+6a)=0

将前面的结果代入，可得5a²-4a-1=0，得a=-1/5(因a<0，所以舍去了a=1这个值)
b=-6/5，c=-3/5
所以f(x)=-x²/5 -6x/5-3/5
(2)因为当a<0时，二次函数f(x)=ax²+bx+c的最大值在x=-b/2a时取得，即从f(x)的图像上看，其最大值是其顶点的纵坐标值。
f(x)=a(x+b/2a)²+c-b²/4a，f(x)的最大值是c-b²/4a，解方程c-b²/4a>0
即解4ac-b²<0 (a<0，两边同时乘以4a时，不等号要变方向
将前面的结果代入，得到4a*3a-(-2-4a)²<0
化简整理得(a+2)²>3
即|a+2|>√3 ，得到 a+2>√3或者a+2<-√3
结合a<0，得到-2+√3<a<0或a<-2-√3

即a的取值范围是-2+√3<a<0或a<-2-√3

Answer 2

首先设f(X)=ax²+bx+c
由二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）可得：
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(4a+2）x+3a,且a为负数
（1）由题意得：f(x)+6a=ax²-(4a+2）x+9a=0有相同的实根，
则判定式：(4a+2）²-36a²=-20a²+16a+4=0
即-5a²+4a+1=0
解得a=-1/5或1（舍去）
（2）f(x)=ax²-(4a+2）x+3a
有最大值f(x)max=3a-(2a+1)²/a=-a-1/a-4>0,即a²+4a+1>0(注意a为负数，两边同乘a时不等号
要变方向）
解得:a的取值范围为（-∞，-2-√3）并（-2+√3，0）

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