Question

已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=2,Sn=2an+1+n,求通项公式an

Answer 1

如果按照题设Sn=2an+1+n
则a1=S1=2a1+1+1得a1=-2
与题设a1=2矛盾
所以我估计原题应该是
Sn=2a(n+1)+n

a2=(S1-1)/2=(a1-1)/2=1/2
a(n+1)=S(n+1)-Sn
=[2a(n+2)+n+1]-[2a(n+1)+n]
=2a(n+2)-2a(n+1)+1
2a(n+2)=3a(n+1)-1
2a(n+2)-2=3a(n+1)-3
a(n+2)-1=3/2*[a(n+1)-1]
所以数列｛an-1｝从第2项开始是公比为3/2的等比数列
第2项为a2-1=1/2-1=-1/2
则an-1=(-1/2)*(3/2)^(n-2)
an=1-1/2*(3/2)^(n-2)
当n=1时，a1=1-1/2*(3/2)^(1-2)=2/3不符合
当n=2时，a2=1-1/2*(3/2)^(2-2)=1/2符合
所以
n=1时，a1=2
n≥2时，an=1-1/2*(3/2)^(n-2)

追问

亲。。。虽然我和你算的答案一模一样，但是这不是正确答案。你把a3带进去，算出来的公式带进去是2/3，但用Sn=2a(n+1)+n算答案是1/4，所以我真不知道该咋算。。。

追答

n=3时，a3=1-1/2*(3/2)^(3-2)=1-1/2*3/2=1/4
没错啊

Answer 2

S（n-1）=2a（n-1）+1+n-1=2a（n-1）+n
an=Sn-S（n-1）=1+2an -2a（n-1）
整理得an -1=2a（n-1）-2=2[a(n-1)-1]
[an -1]/[a（n-1）-1]=2
（an) -1=（a1-1）*2^(n-1)=2^(n-1)
∴an=1+2^(n-1),检验a1也满足
但是这样算出来不对啊，S1=a1=2a1+1+1，a1代2进去不成立，-a1=2，a1=-2吧
（an) -1=（a1-1）*2^(n-1)=(-3)*2^(n-1)，∴an=（-3）*2^(n-1)+1，这样才满足Sn啊