Question

33.关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+3)x+2k+2=0若方程有一根小于 1,求 k 的取值范围

33．关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围．

Answer 1

分析 ：

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

解答：

（1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，

∴x1=2，x2=k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．

拓展资料

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：

（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；

（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．

Answer 2

（1）
△=（k+3）²-4（2k+2）=k²+6k+9-8k-8=k²-2k+1=（k-1）²≥0
所以方程总有两个实数根
（2）
（x-k）（x-k-1）=0
x1=k，x2=k+1
若方程只有一个根小于1，则
k<1且k+1>1,则0<k<1
若方程两个根都小于1，则
k+1<1,则k<0

Answer 3

(1)
x^2 -(k+3)x+2k+2=0
Δ= (k+3)^2 - 4(2k+2)
=k^2-2k+1
=(k-1)^2
>0
(2)
若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围
x^2 -(k+3)x+2k+2=0
(x- (k+1))(x-2) = 0
x=2 or k+1
k+1 <1
k<0

Answer 4

（1）用根的判别式：b²-4ac=(k+3)²-4(2k+2）=（k-1）²≥0
所以方程总有两个实数根；
（2）由于方程总有一根为2，另一根为k+1（可用求根公式）
∴必有k+1＜1， k＜0

Answer 5

设f(x)=x^2+(k-1)x+1
则f(x)的图像开口向上
要使f(x)=0一根大于2,一根小于2
则f(2)0得 k>3或k