Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=1-1/4an,bn=1/(2an-1),求证1/2+1/3+1/4

在数列{an}中,A1=1,An+1=1-1/(4An),Bn=1/(2An-1),求证；1/2+1/3+1/4+....+1/(2^n-1)<Bn-1(n≥2） （第一小题求出Bn=n，第二小题证到当n=k+1是，接下去不会了，注意用归纳法）

Answer 1

既然做出Bn=n没有理由不会啊……
(i) n=2时，1/2+1/3<1，显然成立。
(ii) 若n=k时，1/2+1/3+1/4+...+1/(2^k-1)<k-1
则n=k+1时，1/2+1/3+1/4+...+1/(2^(k+1)-1)<k-1+1/(2^k)+1/(2^k+1)+...1/(2^(k+1)-1)
其中1/(2^k)+1/(2^k+1)+...1/(2^(k+1)-1)<(1/(2^k))*2^k=1
根据不等式性质，则必有1/2+1/3+1/4+....+1/(2^(k+1)-1)<k
命题得证。

追问

其中1/(2^k)+1/(2^k+1)+...1/(2^(k+1)-1)<(1/(2^k))*2^k=1
怎么来的？

追答

放缩法。
左边共有2^k项，且后(2^k-1)项均小于1/(2^k),利用不等式性质可得该式