Question

已知三角形ABC中，AB=AC,D是CB延长线上一点，角ADB=60度，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AE=BE+BC。

Answer 1

证明：过A作AF⊥BC于F
∵∠EDB=60° ， DE=DB
∴△EDB是等边三角形，DE=DB=EB
∵△ABC是等腰三角形
∴BF=CF，2BF=BC
又∵∠DAF=30°
∴AD=2DF
又：DF=DB+BF
∴AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=2DB+BC
（AE+ED）=2DB+BC，其中ED=DB
∴AE=DB+BC=BE+BC

或者
证明：在DC的延长线上取点F，使CF＝BD，连接AF
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠ABD＝180°-∠ABC，∠ACF＝180°-∠ACB
∴∠ABD＝∠ACF
∵CF＝BD
∴△ABD≌△ACF （SAS）
∴∠AFC＝∠ABD
∵∠ABD＝60
∴∠AFC＝60
∴等边△ADF
∴AD＝DF
∵DE＝BD
∴等边△BDE
∴DE＝BD＝BE
∴CF＝BE
∵AE＝AD-DE，BF＝DF-BD
∴AE＝BF＝BC+CF＝BC+BE