Question

高等代数行列式的计算，求高手计算下！

Answer 1

(1) 取列向量c和s，分别以cos(theta_i)和sin(theta_i)为分量
那么原来的矩阵是I+XY^T，其中X=[c,s], Y=[s,c]
利用Sylvester恒等式det(I+XY^T)=det(I+Y^TX)即可，后面那个二阶行列式可以算出来

(2) 记原矩阵为A，再取多项式f(x)=a1+a_2x+...+a_nx^{n-1}
再取一个Vandermonde矩阵W，W由x^n-2=0的n个复根x_1,...,x_n生成
那么AW=WD，其中D是对角阵，对角元为f(x_1),...,f(x_n)，所以det(A)=det(D)

或者再简单一点，令J为型如
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
2 0 0 0 0
的矩阵，f(x)同上，那么A=f(J)，得到det(A)=det(f(J))=product(f(lambda(J)))
本质上和上面的方法一样，只不过这里只用到特征值，而上面的做法连特征向量也一起求出来