Question

设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时，0

设f(x)设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时，0<f(x)<1,判断f(x)在R上的单调性

Answer 1

解：令x=1，y=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
设x＜0则-x＞0∴0＜f（-x）＜1而f(x)=f(0)/f(-x)=1/f(-x)
∴f（x）＞1即对任意x∈R有f（x）＞0
设x1＞x2则 x1-x2＞0，∴0＜f（x1-x2）＜1
f(x1)=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2 ）•f（x2），
于是，f(x1)/f(x2) =f(x1-x2)＜1
∴f（x1）＜f（x2）
所以，函数f（x）在R上单调递减．

望采纳，若不懂，请追问。

追问

题目打错了
设f(x)设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(xy)=f(x)f(y)，且x>1时，0<f(x),判断f(x)在（-无穷大，0）上的单调性

追答

证明：任取x1＜x2＜0，则x1/x2＞1，则题意得f(x1/x2)＞0
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x1）-f(x2)=f[(x1/x2) x2]-f(x2)=f（x1/x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（-∞，0）内为减函数，

打的手酸啊，望采纳~~

追问

为什么从x1＜x2＜0就可以得到x1/x2＞1，望详细解释，谢谢

追答

额，好吧，好人做到底。。。
x1＜x2＜0，-x1＞-x2＞0，-x1/(-x2)＞0，所以x1/x2＞0
你也可以试着代入几个数就明白了，这属于常理，在证明时不需另外说明的。。。

追问

但是你上面说的是x1/x2＞1，不是x1/x2＞0
？？？？？？

追答

x1＜x2＜0，-x1＞-x2＞0，-x1/(-x2)＞1，所以x1/x2＞1
你也可以试着代入几个数就明白了，这属于常理，在证明时不需另外说明的。。。

不小心输入错了。。。

Answer 2

当x＜0时，为单调递增函数
当x》0时，为单调递减函数

追问

题目打错了
设f(x)设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(xy)=f(x)f(y)，且x>1时，0<f(x),判断f(x)在（-无穷大，0）上的单调性