Question

一道高一数学题 急 在线等 要有过程 谢谢

已知f（x）=（2x+1）/（x+1）
1.用定义域证明函数在区间[1，+∞）上是增函数
2.求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值

Answer 1

1、f（x）=（x+1+x）/(x+1)=1+x/(x+1)
设1<x1<x2,f（x2）-f（x1）=1+x2/(x2+1)-1-x1/(x1+1)=x2/(x2+1)-x1/(x1+1)=1/(1+1/x2)-1/(1+1/x1)
因1<x1<x2，1/x1>1/x2,1+1/x1>1+1/x2,1/(1+1/x2)<1/(1+1/x1),所以f（x2）-f（x1）>0 所以函数在区间[1，+∞）上是增函数
2、因为函数在区间[1，+∞）上是增函数 所以函数在区间[2,4]上的最大值为f(4)=9/5 最小值为f(2)=5/3

Answer 2

f(x)=2-1/(x+1)
当-1≤a<b时
f(b)-f(a)=2-1/(b+1)-2+1/(a+1)=(b-a)/[(a+1)(b+1)]>0
所以函数在区间[-1，+∞）上是增函数
该函数在区间[2,4]上的最大值为f(4)=9/5,最小值为f(2)=5/3

Answer 3

1. 由题知，f(x)=(x+x+1)/(x+1)=1+x/(x+1)

   设1<x1<x2<+∞

   f(x2)-f(x1)=x2/(x2+1)-x1/(x1+1）=(x2-x1)/[(x2+1)(x1+1)]

   ∵x2-x1>0,x2+1>0,x1+1>0

   ∴f(x2)-f(x1)>0

   ∴f(x)在区间[1，+∞）上是增函数

2. 由（1）知f(x)在区间[1，+∞）上是增函数

   ∴f(x)的最大值=f(4)=9/5

   f(x)最小值=f(2)=5/2