Question

已知数列an中，a1=二分之一，an+1=2an/an+1求an

已知数列an中，a1=二分之一，an+1=2an/an+1求an已知数列an中，a1=二分之一，an+1=2an/an+1求an

Answer 1

a(n+1)=2an/(an+1)
即1/a(n+1)=1/2(1+1/an)
故1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)，令数列bn=1/an-1，即有bn+1=bn/2,b1=1/a1-1=1
因此bn为首项1，公比1/2的等比数列，bn=(1/2)^(n-1)
an=1/(bn+1)=1/[(1/2)^(n-1)+1]=2^n/[2^n+2]

追问

请问做完变形之后是这样吗

追答

是的，然后等式两边各减去一个1/2，后面就是bn了。至于为什么是减1/2，像这种an+1=kan+b的关系式，都适用。你就假设an+1+m=k(an+m)，然后还原an+1=kan+km-m,两式比较就有m(k-1)=b,m=b/(k-1)，这样就构造一个等比数列出来了。

Answer 2

a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/(2an)
1/a(n+1)-1= 1/(2an)-1/2=1/2(1/an-1)
所以{1/an-1}为等比数列,公比是1/2

1/an-1=(2-1)*(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)

an=2^(n-1)/[2^(n-1)+1]