Question

若F()的导函数在x。处极限存在，则f'(x)在x。连续，如何证明，求详细理解思路

老师给的证明:f'(x。)=lim(x→x。)(f(x)–f(x。))/(x–x。)=lim(x→x。)f'(x),,,,,,,,,, 我没看明白

Answer 1

根据中值定理， 存在 x1 界于 x0, x之间 使得
(f(x)–f(x。))/(x–x。)= f'(x1), 于是

lim(x→x。)(f(x)–f(x。))/(x–x。)

=lim(x→x。)f'(x1)
= f‘（x0) 因为 x1 界于 x0, x之间 使得 ， 当 x-->x0时， x1--> x0

追问

题也没说f'(x。)存在啊，题里只说f(x)导数在x。极限存在

追答

设F()的导函数在x。处极限为a, 则 lim(x→x。)f'(x1)=a, 根据导数定义，有 f'(x0)=a.

追问

反例:(x^3)sin(1/x)在0点导数不存在，但是导函数的极限存在

追答

此函数在0处的导数存在 =0. 我还刚做了一个 x^2sin(1/x) 在0处导数的题。
http://zhidao.baidu.com/question/493970021.html?oldq=1

参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/493970021.html?oldq=1

追问

为什么导数存在，

追答

按定义 lim|(f(x)-f(x0)/(x-x0) -a|=lim|f'(x1)-a|=0, 所以导数存在。 这里 x1 是解答中描述的x1。

追问

对函数(x^3)sin(1/x)，按某点导数定义,在0处的导数应该为lim(△x→0)f

追答

lim(x-->0)|(f(x)-f(0))/x - 0|
=lim(x-->0)|x^3sin(1/x)|/|x|
=lim(x-->0) |x^2sin(1/x)|
因为 |sin(1/x)|0) |x^2sin(1/x)| =0

即(x^3)sin(1/x)在0点导数=0

追问

对函数(x^3)sin(1/x),按某点导函数定义在0点导数为lim△x→0f△x–f0/△x,而f0是不存在的

追答

对那个函数 假设了 f(0)=0. 否则函数不连续。 也不可能有 F()的导函数在x。处极限存在

追问

就算不假设f0=0，单独看那个导函数，导函数在0处的极限也为0啊，

追答

所有这些讨论中，都假设了 f(x) 连续。 否则，只需考虑
当x不=0时，f(x)=0； f(0)=1. 结论就不成立了。

追问

也就是这个结论还应该有个条件，f'(x。)必须存在是吗

追答

f(x) 在x0 处连续即可。 如果f'(x。)存在， 自然没问题。