Question

已知函数f(x)=e^x(x^2+ax-a),其中a是常数.

1,当a=1时,求f(x)在点(1,,f(1))处的切线方程.
2,求f(x)在[0,正无穷)上的最小值

Answer 1

1、当a=1时，f(x)=e^x(x²+x-1)
f'(x)=(x²+3x)e^x

f(1)=e

f'(1)=4e
所以，其切线方程：y-e=4e(x-1)
4ex-y-3e=0

2、当x>=0时，令f'(x)=0
(x²+3x)e^x=0

因此，x=0 或 x=-3(舍掉）
当x=0时，f(0)=-1

所以，最小值为-1

以上是a=1的情况。

下边给通解：

f'(x)=(x²+(a+2)*x+a-1)e^x

令其＝0

解得： x=±(√(a²+8)-a-2)/2

为了使x>=0,判断a的范围

x=(√(a²+8)-a-2)/2, (a<=1 )
最小值-(√(a²+8)-2)e^((√(a²+8)-a-2)/2)

Answer 2

1.f'(x)=e^x(x^2+ax-a)+e^x(2x+a),f'(a)=2e^a(a^2+a),f(1)=0,所以y=f(1)+f'(a)(x-1),y=2e^a(a^2+a)(x-1)
2.由第一问，f'(x)=e^x(x^2+ax-a)+e^x(2x+a),令f'(x)=0,有x^2+(2+a)x=0,x1=0,x2=-a-2,
（1）当-a-2<0,a>-2
当x<-a-2,f'(x)>0,-a-2<x<0,f'(x)<0,当x>0，f'(x)>0,有f(0)=-a,所以最小值为f(0)=-a
(2)当a<-2
当x<0,f'(x)>0,0<x<-a-2,f'(x)<0,x>-a-2,f'(x)>0,最小值为f(-a-2)