Question

高二数学 抛物线与圆结合的题！！！！（急）！！！

已知抛物线y^2=2px(P>0)的焦点为F,在X轴上F的右侧有一点A,以FA为直径作圆C（半径为R）,圆C与抛物线x轴上方部分交于M.N两点。
1)求(FM+FN)/R的值
2）有1）得(FM+FN)/R为定值，类比1），若F为椭圆的左焦点，写出关于椭圆的类似结论，并证明。

Answer 1

F(P/2,0) A(P/2+2R,0) C(P/2+R,0)
圆方程：（x-P/2-R)^2+y^2=R^2
y^2=2Px
（x-P/2-R)^2+2Px=R^2化简 x^2+(P-2R)x+(P^2)/4+PR=0
x1+x2=-P+2R
(FM+FN)/R=(X1+P/2+X2+P/2)/R=2

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
F(-c,0) A(-c+2R,0) C(-c+R,0) a^2=b^2+c^2 e=c/a
圆C方程： （x+c-R)^2+y^2=R^2
与椭圆方程联立 得：(b^2/a^2)x^2-(x+c-R)^2=b^2-R^2
化简得：（-c^2/a^2)x^2-2(c-R)x-a^2+2cR=0
FM=c/a *(x1+a^2/c)
FN=c/a *(x2+a^2/c)
(FM+FN)/R=[c/a*(x1+x2)+2a]/R={c/a*[-2(c-R)/（-c^2/a^2)]+2a}/R=2a/c=2/e

Answer 2

（1）易知圆心坐标C(p/2+R,0)
则圆C：[x-(p/2+R)]^2+y^2=R^2
因抛物线与圆C相交，则有
x^2+(p-2R)x+p^2/4+pR=0（联立抛物线和圆方程）
设抛物线准线为L，令M(x1,y1)，N(x2,y2)，并令M、N到准线L的距离分别为dm、dn
由抛物线定义知
dm=FM（I）
dn=FN（II）
又由焦准距定义及线段关系知
dm=p/2+x1（III）
dn=p/2+x2（IV）
则由韦达定理有x1+x2=2R-p（V）
由（I）~（V）式有(FM+FN)/R=2（定值）

（2）对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）左焦点F(-c,0)
此时圆心坐标C(R-c,0)，则圆C：[x-(R-c)]^2+y^2=R^2
联立椭圆及圆C方程有(e^2)x^2-2(R-c)x+a^2-2cR=0（e离心率=c/a，注意到a^2=b^2+c^2）
设椭圆左准线为L，令M(x1,y1)，N(x2,y2)，并令M、N到准线L的距离分别为dm、dn
由圆锥曲线第一定义知
FM/dm=e（I）
FN/dn=e（II）
又由准线定义及线段关系知
dm=a^2/c+x1=c/e^2 +x1（III）
dn=a^2/c+x2=c/e^2 +x2（IV）
则由韦达定理有x1+x2=2(R-c)/e^2（V）
由（I）~（V）式有(FM+FN)/R=2/e（定值）

Answer 3

m.n是圆上两点，f是圆心，fm+fn/r应是定值吧，下一题不一样吗，我怀疑这题你写错了