Question

如图甲：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，作等边△ACD.

把图甲中▲ACD沿AC边翻折后得到图乙，连接DB，设线段CD与AB相交于点E，（1）：求证：BD=BE
（2）：若AC=2，试求四边形ACBD的面积S

Answer 1

解：（1）如图甲，当△ACD绕点C顺时针旋转75°或255°时，旋转后的△ACD与△ABC构成一个轴对称图形；

（2）①证明：
∵BC=CE，∠BCE=90°-∠ACE=30°，
∴∠CEB=∠CBE=（180°-30°）÷2=75°，
∠EBF=∠CBE-∠CBF=75°-45°=30°，
∴∠EFB=180°-∠EBF-∠CEB=180°-30°-75°=75°，
即∠EFB=∠FEB，故BE=BF；

②如图乙，作△BCE边BC上的高EH，则EH=12CE=1，
所以，S四边形ACBE=S△ACE+S△BCE=12×2×3+12×2×1=3+1．

Answer 2

这位同学，证第一问时，由题中条件可知角ABC为45度，角DCB为30度（90-60），也就是说角DEB为75度，又由于CD=BC且角DCB为30度，故角BDC为75度，也就可以得出BD=BE；在第二问里可以把四边形ACBD分为等边三角形ACD和等腰三角形CBD，三角形ACD的面积很好求，三角形CBD的面积则要麻烦点，已知CD=CB=2，可以用角BCD的余弦定理来求出BD的长度，之后由于三边长都知道了，求等腰三角形的面积就很容易了，再把两个三角形的面积加起来就是四边形ACBD的面积了，余弦公式是COS30（度）=（CD2+BC2-BD2）/2*CD*BC，其中括号中的2表示平方的意思