Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R)

若对任意a∈[-4,+∞],f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

Answer 1

解：
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2(a,b∈R)，则导数为f‘(x)=3x²+2ax+b，由于在题设区间上为增函数，故有
f'(x)≥0
3x²+2ax+b≥0
b≥-3x²-2ax
于是此题转化为：“已知函数g(x)=-3x²-2ax，当a∈[-4,+∞]时，求g(x)在区间[0,2]上的最大值”。
这便是我们熟知的二次函数了。其中，对称轴为x=-a/3，开口朝下。下面开始分析：
当a∈[0,+∞]时在的最大值为0，而当a∈[-4,0)时对称轴在正半轴，且随着a变小，对称轴越远，顶点值越高。于是当a=-4时，对称轴在[0,2]内，顶点值达到最高峰，为 g(x)max=g(4/3)=16/3。
回到原不等式：
b≥-3x²-2ax
b≥16/3
∴b(min)=16/3
这就是题目所求值了