Question

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：CE=二分之一BF
（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴在RTΔFBD与RTΔACD中：
DD=DF，DB=DC，
∴ΔFBD≌ΔACD(SAS)；
⑵在RTΔABE与RTΔCBE中，
BE=BE，∠ABE=∠CBE，
∴ΔABE≌ΔCBE(ASA)，
∴AE=CE=1/2AC，
由⑴全等知：BF=AC，
∴CE=1/2BF；
⑶连接CG，由⑵全等得：∠ACD=∠ABE=∠CBE，
∵H是BC中点，DB=DC，∴DH⊥BC，∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，∴∠BCG=∠CBE=∠ACD，
∴∠ACG=∠BCD=45°，ΔCEG是等腰直角三角形，
∴CG^2=2CE^2=2EG^2，
∴BG=√2CE=√2GE。

Answer 2

（1）：
∵△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°
∴BD = CD
而已知 DA=DF
∴△FBD≌△ACD（SAS）

（2）：
在Rt△ABE和Rt△CBE中
∵∠ABE=∠CBE（BF平分∠DBC），BE = BE（公共边）
∴△ABE≌△CBE（ASA）
∴CE = AE，即 CE = 1/2AC
又△FBD≌△ACD（已证）
∴BF = AC
∴CE = 1/2BF

（3）：
连接CG
∵若H是BC边的中点，则DH ⊥ BC（等腰三角形底边上的高线平分该底边）
∴△BGH≌△CGH（SAS）
∴CG = BG，∠HCG =∠HBG = 1/2∠DBC
又∵∠DBF=∠CDA （已证△FBD≌△ACD）
∴∠ECF +∠GCF = 45°
∴CE = GE
∴CE平方 + GE平方 = BG平方

追问

谢谢亲~