Question

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延长BF交AC于E，（1）试说明：△FBD≌△ACD；（2）试说明：△ABC是等腰三角形；（3）试说明：CE=12BF．

Answer 1

证明：（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，

DA＝DF ∠BDC＝∠ADC BD＝CD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，

∠AEB＝∠CEB＝90° BE＝BE ∠ABF＝∠CBF

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE=AC，
∴CE=

1

2

BF．