Question

已知正数a,b满足a+b=2,则1/a+1+4/b+1的最小值为

Answer 1

a+b=2
(a+1)+(b+1)=4
a、b为正数，a+1>0，b+1>0
1/(a+1) +4/(b+1)
=¼[(a+1+b+1)/(a+1)+4(a+1+b+1)/(b+1)]
=¼[4(a+1)/(b+1) +(b+1)/(a+1) +5]
由均值不等式得：4(a+1)/(b+1) +(b+1)/(a+1)≥4
¼[4(a+1)/(b+1) +(b+1)/(a+1) +5]≥9/4
1/(a+1) +4/(b+1)≥9/4
1/(a+1) +4/(b+1)的最小值为9/4

Answer 2

解答：
(1)f'(x)=1/x-a,根据题意，在区间(1,+∞)上为减函数，即当x>1的时候，f'(x)<0
所以1/x-a<0
1/x<a
得到a>1.
g(x)'=e^x-a
根据题意，要在(1,+∞)上有最小值，即当x>1的时候，g'(x)>0,为增函数，所以:
e^x-a>0
e^x>a
即:e>a.
所以a的取值范围为:(1,e).
(2)g(x)'=e^x-a,在区间(-1,+∞)为单调增函数，即当x>-1的时候，g'(x)>0,为增函数，所以:
e^x-a>0
e^x>a
e^x>e^(-1)>a
则:a<1/e.
此时f'(x)=1/x-a,
当0<x<e<1/a的时候，f'(x)>0,为增函数。
当e<x=1/a的时候，f'(x)=0
当x>1/a>e的时候，f'(x)<0,为减函数。
所以只有一个零点。