Question

高数 张宇十八讲 零点问题

高数 张宇十八讲 零点问题如图，这个判别式有什么依据么？12（3a^2-5b）是怎么来的？

Answer 1

令f(x)=x^5+2ax^3+3bx+4c，另h(x)=f(x)-4c,则h(x)+h(-x)=0，因此在整个实数空间，f(x)=0至少有一解（4c是常数，无影响）。
对f(x)求导，计为d(x)，则d(x)=5x^4+6ax^2+3b，显然d(x)=0是无解的(x^2看成未知数，则可以看出d(x^2)=0是关于x^2的二次方程，利用判别式关系（就是题中的那个判别式），可得到d(x)=0无解）显然d(x)>0，d(x)是f(x)的导函数，因此f(x)是单调递增的，因此f(x)=0最多只有一解。
综上可知f(x)=0只有一解。

给你讲讲6.3吧：
答案是2个
对f(x)求导得到d(x)=1/x-1/e，因此可以将区间划分成(0,e)+[e,∞)
且f(x)在(0,e)单调递增，在[e,∞)单调递减
首先当x->0时，f(x)->-∞
当x=e时，f(x)=k>0，又因为f(x)在该区间单调递增，因此f(x)=0在该区间只有一个解
当x->∞时，根据函数性质(对数函数远小于一次函数，可以根据洛必达法则或者麦克劳林展开化简得到)，因此f(∞)<0，同时该区间为单调区间，因此f(x)=0在该区间只有一个解
综上，f(x)在(0,∞)有两个零点

追问

嗯嗯，这个明白的。不理解的是公式是哪里来的，还有题干给的第一个条件没有用上

追答

d(x)=5x^4+6ax^2+3b=0中，另y=x^2,则d(y)=5y^2+6ay+3b=0,这个是一个关于y（其实就是x^2）的二次方程呀，判断该二次方程就用判别式b^2-4ac(带入题干中就是(6a)^-4*5*3b=12(3a^2-5b)了)，再利用题干条件，得知12(3a^2-5b)<0，然后d(y)=0无解，也就是d(x)=5x^4+6ax^2+3b=0无解，然后判断f(x)的单调性呀

追问

明白了 感谢！