Question

如图,在RT△ABC中,∠B=90°,BC=5根号3,∠C=30堵,点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动

同时点E从点A出发沿AB方向以每秒一个单位长度的速度向点B运动，当其中一个到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点DE运动的速度是T秒，过点D做DF⊥BC于点F联结DE,EF
（1）求证，四边形AEFD是平行四边形
（2）当T为何值时，四边形AEFD是菱形？
（3）当T为何值时，EF平分△ABC的面积？
（4）当T为何值时，△DEF与△ABC相似？
（5）当T为何值时，四个三角形CDF,ADE,DEF,ABC都相似？

Answer 1

(1)证明：CD=2T
故DF=2T*1/2=T
而AE=T，故AE=DF
又AE∥DF，
故四边形AEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（2）BC=5√3，AB=5√3/√3=5，AC=2AB=10
只需AE=AD=AC-CD，也即
T=10-2T
得T=10/3
(3)EF平分△ABC的面积，也即2SRT△BEF=SRT△ABC
BE*BF=1/2*AB*BC
(5-T)(5√3-√3T)=1/2*5*5√3
解得
T=5-5√2/2 （T=5+5√2/2>5舍去 ）
（4）当且仅当<EDF=90°时，△DEF∽△ABC。
此时AE+DF=AB
T+1/2*2T=5
解得T=5/2
(5)当且仅当<EDF=90°时，四个三角形CDF,ADE,DEF,ABC都相似。
故T=5/2