Question

如图，正△ABC内接于圆O，P是弧AB上任一点(点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的

延长线于点M。求证，∠M＝∠ACB

Answer 1

证明：
∵正△ABC
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60
∵∠APC、∠ABC所对应圆弧都为劣弧AC
∴∠APC＝∠ABC＝60
∵∠BPC、∠BAC所对应圆弧都为劣弧BC
∴∠BPC＝∠BAC＝60
∴∠MPB＝∠APC+∠BPC＝120
∵CM∥BP
∴∠M+∠MPB＝180
∴∠M＝180-∠MPB＝60
∴∠M＝∠ACB

Answer 2

这道题的已知条件适用于任意三角形，不只是正三角形，
证明也极其简单：
∵BP∥CM
∴∠PBC+∠M=180°（同旁内角和等于180°）
又∵点A、P、B、C内接于园
∴∠APB+∠ACB=180°（园内接四边形内对角和等于180°）
∴∠M=∠ACB