Question

已知定义在R上的偶函数f(x )在区间（0，+∞）上是单调增函数。求证函数在（-∞，0）上是单调减函数

Answer 1

设X2>X1，且X1,X2>0,
因为，F(x)在（0，+∞）上是单调增函数，
所以，F(x2)>F(X1),
又因为，F(x )为偶函数，即F(-X)=F(X)
所以，F(-X2)=F(X2)，F(-X1)=F(X1)，
所以，F(-X2)>F(-X1),
则，f(x )在区间（-∞，0）上是单调减函数。

Answer 2

f(x )在区间（0，+∞）上是单调增函数
就是当x2>x1>0时有f(x2)>f(x1)
又偶函数
所以f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1)
从而也就f(-x2)>f(-x1)
但-x2<-x1<0
也就是当-x2<-x1<0
有f(-x2)>f(-x1)
所以在（-∞，0）上是单调减函数

Answer 3

证明：任取x1<x2<0，则有：-x1>-x2>0
因为：fx在(0,到正无穷）上是增函数
所以：f(-x1)>f(-x2)
又因为：f(x)是定义域是R的偶函数
所以：f(-x1)=f(x1)，f(-x2)=f(x2)
所以，有：f(x1)>f(x2)
所以：f(x)在（负无穷，0）上是减函数.