Question

关于矩阵极其秩的证明题

1，设A B为同阶矩阵 求证:rank(A) <=rank(A)+rank(B)

2，设 A B为n阶方阵 证 如果AB=0,rank(A)+rank(B)<=n

3 A为n阶方阵，求证rank(A+E)+rank(A-E)>=n

4，n阶方阵A满足A^2-2A-4E=0,若A+E的秩为n，证:A-3E的秩亦为n

Answer 1

1.rank(a+b)<=rank(a)+rank(b)
：[A,0;0,B]→[A,B;0,B]→[A+B,B;B,B]→[
A+B,B;-A,0]
rank(A+B)=rank[A,0;0,B]=rank[A+B,B;-A,0]>=rank(a+b).结论得证。