Question

四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平

四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形

Answer 1

证明:
因AB=AC=AD,且∠BAC的角平分线AE交BC于点E,不难得AE⊥BC;
又AF是CD边上的中线，不难得AF⊥CD;
又BC=CD,又三边相等可知三角形ABC、ADC全等，
从而有∠BAE=∠EAC=∠CAF=∠FAD.
又PC⊥CD,所以PC与AF平行,从而∠CAF=∠ACP
所以，∠EAC=∠ACP,从而PA=PC;
同理，QA=QC,
不难证三角形PAC和QAC全等（角边角，共AC）,从而PA=PC=QA=QC,
所以四边形APCQ是菱形