Question

已知函数f(x)=lg(1-x/1+x),证明f（x）为定义域上单调减函数；求该函数的值域。（请用多种方法）

Answer 1

1.因为lgx是增函数
所以只需证
(1-x)/(1+x)是减函数即可
即f增函数，g减函数，则f(g(x))就是减函数
先看定义域
lgx的定义域是正实数
所以
(1-x)/(1+x)>0

显然1+x≠0
两边同乘(1+x)^2>0
(1-x)(1+x)>0
-1<x<1
所以定义域为(-1,1)

下证单调减
方法一：用定义
任取
-1<x1<x2<1
因为(1-x)/(1+x)=(2-(1+x))/(1+x)=2/(1+x)-1

(1-x2)/(1+x2)-(1-x1)/(1+x1)

=2/(1+x2)-1-2/(1+x1)+1
=[2(1+x1)-2(1+x2)]/[(1+x1)(1+x2)]
=2(x1-x2)/[(1+x1)(1+x2)]<0
所以(1-x)/(1+x)是减函数
f(x)=lg(1-x/1+x)在定义域上是减函数

方法二：用导数
f'(x)=[(1+x)/(1-x)]*(-2/(1+x)^2)<0
因为(1+x)/(1-x)>0,(1+x)^2>0.

所以
f(x)在定义域上单调减

值域：
既然单调减，那么极值在定义域两端达到
x->-1
(1-x)/(1+x)->正无穷
所以f(x)->正无穷
x->1
(1-x)/(1+x)->0
所以f(x)->负无穷
所以值域为(负无穷,正无穷)