Question

求函数(x+y)*ln(1+y/x)/sqrt(1-x-y)在x+y=1,x=0,y=0围成区域上的重积分，过程请详细一点。

Answer 1

解：分享一种解法，用极坐标变换求解。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。 ∴D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤1/(cosθ+sinθ)，0≤θ≤π/2}。
∴原式=∫(0,π/2)ln(1+tanθ)dθ∫(0,1/(cosθ+sinθ))(cosθ+sinθ)ρ²dρ/√[1-(cosθ+sinθ)ρ]。
再设t=(cosθ+sinθ)ρ，∴∫(0,1/(cosθ+sinθ))(cosθ+sinθ)ρ²dρ/√[1-(cosθ+sinθ)ρ]=[1/(cosθ+sinθ)²]∫(0,1)t²dt/√(1-t)。
而，利用贝塔函数的定义，∫(0,1)t²dt/√(1-t)=B(3,1/2)=16/15【或者，设t=sin²α，亦可得∫(0,1)t²dt/√(1-t)=16/15】。
∴原式=(16/15)∫(0,π/2)ln(1+tanθ)dθ/(cosθ+sinθ)²。
令α=tanθ，∴∫(0,π/2)ln(1+tanθ)dθ/(cosθ+sinθ)²=∫(0,∞)ln(1+α)dα/(1+α)²=-[1+ln(1+α)]/(1+α)丨(α=0,∞)=1。
∴原式=16/15。
供参考。