Question

已知f(x)为二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的表达式

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c
由f(0)=0，得：c=0
所以：f(x)=ax²+bx
f(x+1)=f(x)+x+1
令x=0，得：f(1)=f(0)+0+1=1，即：a+b=1 ①
令x=1，得：f(2)=f(1)+1+1=3，即：4a+2b=3 ②
由①②两式，解得：a=1/2，b=1/2
所以，f(x)=x²/2+x/2

ps：这叫待定系数法，告诉你函数类型，你就把函数解析式直接设出来，然后根据题意去构造方程组，解出未知参数即可

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

可以用某一个常数代入？是哇？这类题都可以这样做吗？我才小学，我自己在看，想归纳题型，整理方法

追答

是的，f(x+1)=f(x)+x+1这个式子是对任何x都成立的，所以，可以用任何一个常数代入，
然后结合已知条件f(0)，所以，先代x=0

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c；

当x=-1时，得到f（-1）=0；
又f(0)=0，得到c=0；
一元二次方程f(x)=0由两个解x1=0，x2=-1，
由韦达定理得：x1+x2=-b/a=-1得到a=b；
又x=0时，f(1)=1；f(1)=a+b=1得到a=b=1/2；
故f(x)=（x^2+x）/2

Answer 3

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=c=0
f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=x+1
2a=1,a+b=1
a=b=1/2
f(x)=(x^2+x)/2

追问

有没有思路，如果下次遇到这样的题目，改怎么下手

追答

根据题目条件，把二元函数设出来。转换为求未知数。

追问

f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=x+1
2a=1,a+b=1
看不懂？

追答

f(x)=ax^2+bx
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+2ax+a+bx+b
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b

追问

懂了！谢谢

Answer 4

f(x+1)=f(x)+x+1，可得 f(1)=1;
设：f(x)=ax^2+b x+c, f(0)=0, 所以： c=0, a+b=1,
代入得：a=b=1/2;

Answer 5

设f（x）=ax2+bx+c
f(0)=0 c=0
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1
由多项式的相等 a=0.5，b=0.5