Question

一个不等式的证明

Answer 1

用一个类似推广的柯西不等式
(a1^3+a2^3+a3^3)(b1^3+b2^3+b3^3)(c1^3+c2^3+c3^3)>=(a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3)^3
可以用许多个基本不等式叠加证明。 回到原题 记左边为 S ，右边分母的平方为T
则 T*S*S>=(a+b+c)^3 [把分母写成a^3+8abc+b^3+8abc+c^3+8abc] 套用上面的不等式
这样就得到原不等式

Answer 2

将右边的式子放到左边形成函数f，明显此等式为 “可交换函数”，故其极值与f(x)(a=b=c=x)的极值相同，由于f(x)的极值为0，故原式的极值也为0，由于只有一个极值，故是最值，即原式f的最值为0；再将a=b=1，c=2,代入式f得f(1,1,2)>0，故得f的最小值为0；得证。