Question

一个不等式的证明

(1/2)^k+(1-1/k)^k<=1/2,其中k是大于等于1的整数

Answer 1

呵呵,你居然把相同的问题发了两次。我也把我的答案贴两次，主要是因为上一次的答案“修改答复”次数已经达到上限，系统不允许修改了，而上一次的答案中有一处C(k,i+1)*k^(k-i-1)],其中k-i-1看起来象k+1。解决办法是在i的前后各键入一空格。

证明：(一)证当k为≥1的正整数时，(k-1)^k≤1/2[k^k-k^(k-1)]
把(k-1)^k按二项式定理展开，有
(k-1)^k=k^k-C(k,1)*k^(k-1)+C(k,2)*k^(k-2)-C(k,3)*k^(k-3)+...+C(k,i)*(-1)^i*k^(k-i)+...+(-1)^k
=C(k,2)*k^(k-2)-C(k,3)*k^(k-3)+...+C(k,i)*(-1)^i*k^(k-i)+...+(-1)^k
=C(k,2)*k^(k-2)-[C(k,3)*k^(k-3)-C(k,4)*k^(k-4)]-...-[C(k,i)*k^(k-i)-C(k,i+1)*k^(k- i -1)]-...
注意展开式的各项是正负交替的，如果k为偶数，则最后一项为-[C(k,k-1)*k-1],如果k为奇数，则最后一项单独是-1。
当k≥1,0≤i≤k-1时
因为[C(k,i)*k^(k-i)]/[C(k,i+1)*k^(k- i -1)]=k*(i+1)/(k-i)≥1
所以C(k,i)*k^(k-i)-C(k,i+1)*k^(k- i -1)≥0
于是(k-1)^k≤C(k,2)*k^(k-2)=1/2[k^k-k^(k-1)]
(二)、当k为≥1的正整数时，显然有2^k≥2*k，于是1/2^k≤1/(2*k)
(三)、(1/2)^k+(1-1/k)^k=1/2^k+(k-1)^k/(k^k)
≤1/(2*k)+{1/2[k^k-k^(k-1)]}/(k^k)=1/(2*k)+1/2-1/(2*k)=1/2
证毕。
【附：有人说用数学归纳法证明，我认为是困难的】

Answer 2

傻