Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=ED，求BD的长．
注意是ED不是DO！！！

Answer 1

第一个问题：
∵AC⊥OC，∴AC切⊙O于C，∴∠ACD＝∠OED。
∵OC＝OD，∴∠DCB＝∠ODC，∴∠DOE＝2∠DCB，而∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOE。
∵∠DOE＝∠DAC、∠OED＝∠ACD，∴△ODE∽△ADC，∴∠ODE＝∠ADC。

∵EC是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODE＋∠ODC＝90°，∴∠ADC＋∠ODC＝90°，
∴∠ADO＝90°，∴AB是⊙O的切线。

第二个问题：
令CD的中点为F。
∵BD切⊙O于D，∴∠EDB＝∠DCB。
∵BE＝ED，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠DBC＝∠DCB。
∵∠DEC＝∠EDB＋∠DBC＝2∠DBC＝2∠DCB，又∠DEC＋∠DCB＝90°，
∴3∠DCB＝90°，∴∠DCB＝30°。

∵CF＝DF，∴OF⊥CD，∴OF＝2。
∵OF⊥CD、ED⊥CD，∴OF∥ED，又OC＝OE，∴OF是△CDE的中位线，∴ED＝2OF＝4，
∴BE＝4。
∵ED⊥CD、∠DCE＝30°，∴EC＝2ED＝8，∴BC＝BE＋EC＝4＋8＝12。
由切割线定理，有：BD^2＝BE×BC＝4×12，∴BD＝4√3。

追问

答案2根号3

追答

真对不起！我将CD的弦心距写错了。从原答案的倒数第5行开始出错。现更正如下：
第二个问题：
令CD的中点为F。
∵BD切⊙O于D，∴∠EDB＝∠DCB。
∵BE＝ED，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠DBC＝∠DCB。
∵∠DEC＝∠EDB＋∠DBC＝2∠DBC＝2∠DCB，又∠DEC＋∠DCB＝90°，
∴3∠DCB＝90°，∴∠DCB＝30°。

∵CF＝DF，∴OF⊥CD，∴OF＝1。
∵OF⊥CD、ED⊥CD，∴OF∥ED，又OC＝OE，∴OF是△CDE的中位线，
∴ED＝2OF＝2，∴BE＝2。
∵ED⊥CD、∠DCE＝30°，∴EC＝2ED＝4，∴BC＝BE＋EC＝2＋4＝6。
由切割线定理，有：BD^2＝BE×BC＝2×6，∴BD＝2√3。