Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=ED，求BD的长．
注意是ED不是DO！！！

Answer 1

（1）易知OD=OC（以EC为直径的⊙O经过点D，OD,OC为半径）
所以 ∠BOD=2∠DCB，所以△BOD和△ABC相似，所以∠BDO=90

（2）连接AO，和CD相交与点F，易知∠OFD=90，F为线段CD中点，OF为CD弦心距
所以ED=2OF=2

BE=ED,所以 ∠EBD= ∠BDE，所以∠EBD+∠EDO=90

又OD=OE，所以∠EBD+∠DEO=90，所以∠DEO = ∠BAC

又∠DEO+∠DCE=90，∠DCE+∠DCA=90，所以∠DEO = ∠DCA

所以△ACD为等边三角形，所以BE=ED=EO=OD=2，所以BD=2√3

Answer 2

连接OD，∠BOD=∠OCD+∠ODC，D在圆上，所以OC=OD都为圆的半径，所以∠ODC=∠OCD。
∠A=2∠BCD=2∠OCD=∠OCD+∠ODC=∠BOD
因为∠A+∠B=90度，所以∠B+∠BOD=90度。所以OD垂直AB，所以AB是圆的切线

Answer 3

第一问太简单了，略
第二问：
还有更简单更好理解的第二问解答，如下：
连接AO交CD于F
易得：△AFC、△OFC、△BDO都相似
∴∠A+∠B=∠A+1/2∠A=90°
解得：∠A=60°
且△BDE与△CDO全等
∴BD=2√3
（相似与全等自己慢慢证明）