Question

解方程x/1×2+x/2×3+x/3×4+…+x/2009×2010=2009

Answer 1

1×2分之1+2×3分之1+3×4分之1，试算这简单的分数寻找规律，第一个=2分之1，第二个=6分之1=2分之1减去3分之1，第三个=12分之1=3分之1减去4分之1，这样发现，第一个是1-2分之1，第n个是n分之1减去（n-1）分之1，所以原式的方程左面可以写成
x（1-2分之1+2分之1-3分之1+3分之1-4分之1+......+2009分之1-2010分之1），观察中间，-2分之1+2分之1可以抵消，-3分之1+3分之1可以抵消，依此类推，括号里剩下的是（1-2010分之1）
所以方程左面最后为x*（2010分之2009）
方程此时为：x*（2010分之2009）=2009
x=2009乘2009分之2010
x=2010

Answer 2

x(1/(1*2)+1/(2*3)...+1/(2009*2010))=
x(1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2009-1/2010)=
x(1/1-1/2010)=x(2009/2010)
x=2010

1/(1*2)=1/1-1/2
1/(2*3)=1/2-1/3
...
1/(2009*2010)=1/2009-1/2010
累加起来得到 1/1-1/2010
这个很常用的