Question

在ABC△中,AB=BC,∠ABC=120°将ABC△绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1,

在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α（α为锐角）得到△A1BC1，A1B交AC与点E，A1C1分别交AC,BC于D,F两点，（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的关系？并注明你的结论。 （2）如图②，当 α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由 （3）在旋转过程中是否存在某个角度，使得四边形A1AC1C是平行四边形，若存在，求出此时的旋转角，若不存在，请说明理由
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Answer 1

（1）BE=BF

理由如下：

如上图，∠A=∠C1，AB=C1B，∠ABA1=α=∠C1BC

∴△ABE≌△C1BF

∴BE=BF

 

（2）四边形BC1DA为菱形

理由：

如上图，

∵∠ABC=120°，AB=BC

∴∠A=∠C=∠C1=30°

∠ABC1=120°+30°=150°

∴∠ABC1+∠A=180°，∠ABC1+∠C1=180°

∴AD∥BC1，C1D∥AB

∴四边形BC1DA为平行四边形

同时AB=BC1，∴四边形BC1DA为菱形

 

（3）不存在

 

理由：

如下图，如果A1AC1C为平行四边形，则D是AC、A1C1的中点

连接BD，则BD⊥AC,BD⊥A1C1

当α=0时，

即AC与A1C1重合时，BD⊥AC,BD⊥A1C1成立，此时A1与A点重合，C1与C重合，不构成四边形

 

当α≠0时，BD⊥AC,BD⊥A1C1不成立，A1AC1C不是平行四边形

 

综上，不存在这样的旋转角度。

 

 

Answer 2

1）BE=BF
证明：AB=AC，所以∠A=∠C，所以∠A=∠C1
在△ABE和△C1BF中 ∠ABE=∠CBF=α，∠A=∠C1，AB=C1B
所以△ABE全等于△C1BF
所以BE=BF
2)∠ABA1=α=30°=∠A1，所以A1C1//AB,所以DC1//AB
∠ABC1=∠ABC+∠CBC1=120°+α=150°
∠ABC1+∠A=180°，所以AD//BC1
因为DC1//AB , AD//BC1
所以四边形BC1DA是平行四边形。
3）不存在这样的角度。
证明：假设存在这样的角度使得四边形A1AC1C是平行四边形（反证法）
则AC1=A1C(平行四边形对边相等)
在△ABC1和△A1BC中，因为AB=A1B,BC1=BC,AC1=A1C，所以△ABC1全等于△A1BC,
所以∠ABC1=∠A1BC
而∠ABC1=120°+α ，∠A1BC=120°-α ，120°+α=120°-α 解得α=0，这与α是锐角相矛盾。
所以假设不成立。所以不存在这样的角度使得四边形A1AC1C是平行四边形。

Answer 3

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