Question

（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R。证明AR与AQ

2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时候，（1）所得的结论还成立吗？请你在以下图中完成图形，并给予证明。（第2题要作图）

Answer 1

（1）由AB=AC，∴∠B=∠C，

又PR⊥BC，∴∠R+∠C=90°，

∠BQP+∠B=90°，

∴∠R=∠BQP，

∵∠BQP=∠AQR，

∴∠R=∠AQR，

得AR=AQ。

（2）当P在CB延长线上时，

Q在AB延长线上，R在CA延长线上，

∵RQ⊥CP，

有∠C+∠R=90°，

∠ABC=∠PBQ，

而∠PBQ+∠Q=90°，

∵∠C=∠ABC=∠PBQ，

∴∠R=∠Q不变，

即AR=AQ不变。 

Answer 2

解：（1）AR=AQ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵RP⊥BC，
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC．
∵∠BQP=∠AQR，
∴∠PRC=∠AQR，
∴AR=AQ；
（2）猜想仍然成立．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴∠PBQ=∠C，
∵RP⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∴AR=AQ．