Question

求下列微分方程的通解

求下列微分方程的通解求详细步骤，谢谢

Answer 1

（1）特征方程2r^2+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r1=1/2，r2=-1
所以齐次方程的解为y~=C1*e^(x/2)+C2*e^(-x)
设原方程的特解为y*=Ae^x，则y*'=y*''=Ae^x，代入原方程
2Ae^x+Ae^x-Ae^x=2e^x
A=1
所以原方程的特解为y*=e^x
原方程的通解为y=y~+y*=C1*e^(x/2)+C2*e^(-x)+e^x，其中C1,C2是任意常数
（2）特征方程r^2+5r+6=0
(r+2)(r+3)=0
r1=-2，r2=-3
所以齐次方程的解为y~=C1*e^(-2x)+C2*e^(-3x)
设原方程的特解为y*=Ae^(3x)，则y*'=3Ae^(3x)，y*''=9Ae^(3x)，代入原方程
9Ae^(3x)+15Ae^(3x)+6Ae^(3x)=e^(3x)
A=1/30
所以原方程的特解为y*=(1/30)*e^(3x)
原方程的通解为y=y~+y*=C1*e^(-2x)+C2*e^(-3x)+(1/30)*e^(3x)，其中C1,C2是任意常数
（3）特征方程r^2+1=0
r1=i，r2=-i
所以齐次方程的解为y~=C1*cosx+C2*sinx
设原方程的特解为y*=x(Acosx+Bsinx)，则y*'=Acosx+Bsinx+x(-Asinx+Bcosx)
y*''=-2Asinx+2Bcosx+x(-Acosx-Bsinx)，代入原方程
-2Asinx+2Bcosx+x(-Acosx-Bsinx)+x(Acosx+Bsinx)=4sinx
A=-2，B=0
所以原方程的特解为y*=-2xcosx
原方程的通解为y=y~+y*=C1*cosx+C2*sinx-2xcosx，其中C1,C2是任意常数