Question

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、c,已知向量m=(cosA,cosB)，n=(a,2c-b)，且m//n

若a=4，求△ABC面积的最大值

Answer 1

向量m=(cosA,cosB)，n=(a,2c-b)，且m//n
∴acosB-(2c-b)cosA=0
根据正弦定理
sinAcosB-(2sinC-sinB)cosA=0
∴ sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA
∴sin(A+B)=2sinCcosA
∵sin(A+B)=sinC>0
∴sinC=2sinCcosA
∴cosA=1/2,
∵0<A<π
∴A=π/3
∵a=4,根据余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴b²+c²-bc=16
∵b²+c²≥2bc
∴16=b²+c²-bc≥bc
即bc≤16
∴S△ABC=1/2bcsinA≤8sinπ/3=4√3
即△ABC面积的最大值为4√3