Question

如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D为△ABC内一点。已知：∠ADB=∠ADC,求证：BD=CD

Answer 1

如果你是高中生，利用余弦定理COS角ADB=COS角ADC
其中COS角ADB=（AD^2+DC^2-AC^2)/(2*AD*CD)
两边整理下就会得到BD=CD
如果你是初中生，那也不难。
若BD小于CD，则在线段CD上取一点E，E点满足条件BD=DE
连接AE
由于：1）AD=AD
2)角ADB=角ADE
3)BD=DE
可知三角形ABD全等于三角形AED
这样就有AB=AE
注意到AB=AC
所以AE=AC
也就是说，点E和点C到点A的距离都相等。
注意到以点A为圆心，以AC长为半径的圆和直线CD有且仅有两个交点，
其中一个点是点C,另一个点在三角形外部。
这样，我们就排除了E点在三角形外部的情况，于是点E和点C必然重合，
但是这个就会出现BD=DE=DC，这个和我们的假设BD<DC相矛盾。
同理可证BD>DC也是不成立的。
PS：偶的论证稍微复杂了点，只是想说的更加清楚一点罢了，考试的时候没必要写这么多，点到即可。

Answer 2

∵AB=AC
∴把⊿ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合得到⊿ACE,点D落到点E处
则⊿ABD≌⊿ACE ∴AD=AE BD=CE ∠ADB=∠AEC
∴连结DE 则∠ADE=∠AED
∵∠ADB=∠ADC
∴∠AEC=∠ADC
∴∠AEC－∠AED=∠ADC－∠ADE
即∠CDE－∠CED
∴CE=CD
∴BD=CD

Answer 3

在射线DC上取点C＇，使得DC＇=DB
由∠ADB=∠ADC
易证△ADB≌△ADC＇
故AB=AC＇，DB=DC＇
又AB=AC，
所以AC=AC＇
因点C，C＇均在射线DC上，
故点C与点C＇重合
所以DB=DC