Question

在数列{an}中,a1=-3,an=2a(n-1)+2^n+3(n≥2，且n∈N+)

在数列{an}中,a1=-3,an=2a(n-1)+2^n+3(n≥2，且n∈N+)，求{an}得前n项和Sn

麻烦会的亲写一下过程，谢谢各位了

Answer 1

解：
由题意得：当n≥2时，an=2a(n-1)+2^n+3
则：an+3=2[a(n-1)+3]+2^n
两边同除以2^n，得：[an+3]/(2^n)=[a(n-1)+3]/2^(n-1) +1
[an+3]/(2^n) - [a(n-1)+3]/2^(n-1)=1
所以：数列{[an+3]/(2^n) }是等差数列，且首项为0，公差为1
则：[an+3]/(2^n)=n-1
所以：an=(2^n)(n-1)-3（n≥2）

把n=1代入上式得：a1=-3满足题意
因此：an=(2^n)(n-1)-3

Sn=(2^1)(1-1)-3+(2^2)(2-1)-3+(2^3)(3-1)-3+(2^4)(4-1)-3+...........+(2^n)(n-1)-3
=(1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+.........+n*2^n)-(2^1+2^2+2^3+2^4+.......+2^n)-3n

设Tn=(1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+.........+n*2^n)
Rn=(2^1+2^2+2^3+2^4+.......+2^n)=2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)
则：Sn=Tn-Rn-3n

因为：Tn=(1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+.........+n*2^n) ①
所以：2Tn=[1*2^2+2*2^3+3*2^4+4*2^5+.........+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)] ②
①-②得：-Tn=(2^1+2^2+2^3+2^4+......+2^n)-n*2^(n+1)=Rn-n*2^(n+1)
Tn=-Rn+n*2^(n+1)

所以：Sn=Tn-Rn-3n=-Rn+n*2^(n+1)-Rn-3n=-2Rn+n*2^(n+1)-3n
=-4(2^n-1)+n*2^(n+1)-3n
=(n-2)*[2^(n+1)]-3n+4

Answer 2

解：
由题意得：当n≥2时，a[n]-n*2^n+3=2[a[n-1]-(n-1)*2^(n-1)+3],
所以{a[n]-n*2^n+3}是首项为a[1]-1*2^1+3=-2,公比为2的等比数列
所以a[n]-n*2^n+3=-2*2^(n-1)=-2^n
故a[n]=(n-1)*2^n-3
S[1]=-3,当n≥2时，
S[n]=S[n-1]+a[n]=s[n]+(n-1)*2^n-3
故S[n]-2*(n-2)*2^n+3n=S[n-1]-2*((n-1)-2)*2^(n-1)+3(n-1)
所以{S[n]-(n-3)*2^n+3n}是首项为S[1]-2*(1-2)*2^1+3*1=4的常数列
故S[n]-2*(n-2)*2^n+3n=4
所以S[n]=(n-2)*2^(n+1)-3n+4