Question

高数二重积分

第四题

Answer 1

重积分
1·二重积分
（1） 二重积分定义
设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。
（2） 二重积分的性质
性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
性质1与性质2合称为积分的线性性。
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1, σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ重积分
1·二重积分
（1） 二重积分定义
设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。
（2） 二重积分的性质
性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
性质1与性质2合称为积分的线性性。
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积。

Answer 2

这是我的理解：
二重积分和二次积分的区别
二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。
①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。
②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。
③可以二重积分不一定能二次积分。区域S={(x,y)|x>=1,|y|<=1/x^3}。恒等函数f(x,y)=1,(x,y)∈S。f在S上可以二重积分却不能二次积分（先对x再对y求积分，在y=0那条线上积分无穷）。
积分对调
上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。
可对调x,y的情况是
连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。
积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况

Answer 3

Answer 4

化为极坐标， x^2+y^2 = 2y, 即 r = 2sint ; x^2+y^2 = 4y, 即 r = 4sint ;
x = √3y 即 t = π/6 ; y = √3x 即 t = π/3 .
I = ∫∫<D>(x^2+y^2)dxdy = ∫<π/6, π/3>dt∫<2sint, 4sint> r^2 rdr
= (1/4)∫<π/6, π/3>dt[r^4]<2sint, 4sint> = 60∫<π/6, π/3>(sint)^4dt
= 15∫<π/6, π/3>(1-cos2t)^2dt = 15∫<π/6, π/3>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt
= 15∫<π/6, π/3>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t]dt
= 15[3t/2 - sin2t + (1/8)sin4t]<π/6, π/3>
= 15(π/2 - √3/2 - √3/16 - π/4 + √3/2 - √3/16)
= 15(π/4 -√3/8)

Answer 5