Question

如图 在梯形abcd中 ad平行bc,∠ABC=90°DG⊥BC与G,BH⊥DC与H，CH=DH，点F在AB上，并且EF平行与DC.

如图 在梯形abcd中 ad平行bc,∠ABC=90°DG⊥BC与G,BH⊥DC与H，CH=DH，点F在AB上，并且EF平行与DC.
（1）若AD=3,求CD
（2）若CF=AD+BF,求证EF=二分之一CD

Answer 1

（1）解：连BD
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG=3，AB=DG，
又∵BH⊥DC，CH=DH，
∴△BDC为等腰三角形，
∴BD=BG+GC=3+2=5，
在Rt△ABD中，

AB=根号BD的平方-AD的平方=√5的平方-√3的平方=4
在Rt△DGC中，
∴DC=√DG的平方+√GC的平方=√4的平方+√2的平方 =2√5 ．

（2）证明：∵CF=AD+BF，
∴CF=BG+BF，
∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF，
∵EF∥DC，
∴∠BFE=∠GCD，
∴Rt△BEF∽Rt△GDC，
∴EF：DC=BF：GC=1：2，∴EF=二分之一DC