Question

如图，抛物线y＝a（x－h）的平方＋k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x

如图，抛物线y＝a（x－h）的平方＋k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C（1）求此抛物线的解析式（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得三角形ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点，若是，请说明理由，若不是，请求出符合条件的点，给好评

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=a（x-h）²+k顶点坐标为B（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵抛物线经过点A（0，1），
∴a（0-1）²+2=1，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为y=-（x-1）²+2或y=-x²+2x+1；

（2）∵A（0，1），C（1，0），
∴OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形．
过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，
∴l与抛物线的交点即为点P．
如图，直线l的解析式为y=x，
解方程组

y＝xy＝−x2+2x+1

，
得

x1＝1+52y1＝1+52

，

x2＝1−52y2＝1−52

（不合题意舍去），
∴点P的坐标为（

5+12

，

5+12

）；

（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．
由（1）知，点C的坐标为（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

b＝1k+b＝0

，解得

k＝−1b＝1

，
∴直线AC的解析式为y=-x+1．
设与AC平行的直线的解析式为y=-x+m．
解方程组

y＝−x+my＝−x2+2x+1

，
代入消元，得-x²+2x+1=-x+m，
∵此点与AC距离最远，
∴直线y=-x+m与抛物线有且只有一个交点，
即方程-x²+2x+1=-x+m有两个相等的实数根．
整理方程得：x²-3x+m-1=0，
△=9-4（m-1）=0，解之得m=

134

．
则x²-3x+

134

-1=0，解之得x₁=x₂=

32

，此时y=

74

．
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（

32

，

74

）．

求采纳

追问

我会了，但你的回答真是错的，看在这么辛苦的份上给个好评。