Question

如图，P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.

Answer 1

这题目很难的。

如图，

解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
∵△BAP≌△BCQ
∴AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
∵四边形DCBA是正方形
∴∠CBA＝90°
∴∠ABP＋∠CBP＝90°
∴∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
∴△BPQ是等腰直角三角形
∴PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°
∵PA=1，PB=2，PC=3
∴PQ＝2√2，CQ＝1
∴CP²＝9，PQ²＋CQ²＝8＋1＝9
∴CP²＝PQ²＋CQ²

∴△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
∴∠BQC＝90°＋45°＝135°

∴∠BPA＝∠BQC＝135°

愿对你有所帮助！

Answer 2

将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ

因为△BAP≌△BCQ

所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC

因为四边形DCBA是正方形

所以∠CBA＝90°

所以∠ABP＋∠CBP＝90°

所以∠CBQ＋∠CBP＝90°

即∠PBQ＝90°

所以△BPQ是等腰直角三角形

所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°

因为PA=1，PB=2，PC=3

所以PQ＝2√2，CQ＝1

所以CP^2＝9，PQ^2＋CQ^2＝8＋K＝9

所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2

所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°

所以∠BQC＝90°＋45°＝135°

所以∠BPA＝∠BQC＝135°

Answer 3

解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°
因为PA=1，PB=2，PC=3
所以PQ＝2√2，CQ＝1
所以CP^2＝9，PQ^2＋CQ^2＝8＋K＝9
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°
所以∠BPA＝∠BQC＝135°

向左转|向右转

参考资料： http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/8e6f344d0414b6f1d72afcd8.html

Answer 4

将ΔBCP绕点B逆时针旋转90°，得ΔBAP‘

则BP’=BP=2、AP’=PC=3、∠PBP‘=90°、∠P’PB=45°

∴PP’=2√2

又∵AP=1、1²+(2√2)²=1+8=9=3²

即PA²+PP‘²=AP‘²

∴∠APP‘=90°

∴∠APB=∠APP‘+∠P’PB

             =90°+45°

             =135°